Raíces y gráfica de una función de cuarto grado

Obtener las raíces y la gráfica de la ecuación x4-5x³+5x²+5x-6

Se utiliza el mismo método que para las funciones de tercer grado, solo que ahora tendremos que dividir dos veces ....

El factor en este caso sera ---> x-3 y nos queda :

       x-3 /   x4   -5x³  +5x²  +5x   -6

       +3       ↓     +3    -6      -3    +6

                  1     -2     -1       2      0    nos queda --> x³-2x²-x+2 la cual vamos a dividir entre otro factor,                               .                                                        diferente al pasado en este caso usaremos "x-2" y nos quedara :

   x-2  / x³   -2x²    -x   +2  

    2     ↓     +2      +0   -2

            1      0      -1     0     obtenemos ---> x²-1 colocamos ambos factores que utilizamos para divir, .  .         .                                            quedando de la siguiente manera:

(x²-1)(x-2)(x-3)

(x+1)(x-1) --> factorizamos el ultimo resultado obtenido para poder sacar las cuatro raíces 

x+1=0 x-1=0   x-2=0   x-3=0

x=-1      x=1      x=2    x=3       <---- los tabulamos y colocamos mas valores de "x", el valor de la "x" que .          .                                                        agreguemos la sustituimos en (x+1)(x-1)(x-2)(x-3), la tabla nos tiene  .          .                                                        que quedar asi :

por lo que la gráfica quedara :

Raíces y Grafica

Determinar las raíces y gráfica de x³+8x²+17x+10= F(x)

Tenemos que obtener principalmente los factores de la constante en este caso es "10" lo cuales serian:
-2, -5, 1, 10, etc, en esta ocasión usaremos el factor "-2" que tenemos que sustituir en la ecuación y nos quedara :

--> (-2)³+8(-2)²+17(-2)+10
   
        -8+32-34+10=0   <--- siempre nos tiene que dar como resultado "0"
sabiendo que el factor es -2 vamos a dividir la ecuación entre x+2 pues sabemos que el signo debe ser contrario al original y usando la división sintética, entonces nos quedaría :

  x+2  /    x³ +   8x² +   17x +   10
   -2                 -2       -12      -10
               1        6         5           0            -  -  -  -  > x²+6x+5  factorizamos
                                                               (x+2)(x+5)(x+1) agregamos el divisor para tener 3 raíces
                                                              x+2=0  x+5=0  x+1=0
                                                              x=-2     x=-5     x=-1


Tabulamos y graficamos :

las gráficas con las ecuaciones x³ siempre parecerán como una letra N 

Ecuaciones Cubicas

Solución por factorizacion directa :

si multiplicamos 2 o 3 binomios obtenemos una ecuación de primer o segundo grado, al multiplicar "n" binomios obtendremos una ecuación de "n" grados 

(x+2)(x+1)                                     multiplicamos primero por "x" y luego por 1

x²+2x+1x+2                                   sumamos los factores semejantes y nos queda:

 x²+3x+2

División Sintética

Dividir -x^4 +2x³-x²+x-3 / x+2

Pasaremos el divisor en signo contrario y bajaremos los valores del dividendo por lo que nos queda 

se baja el primer coeficiente del dividendo al renglón #3 este coeficiente se multiplica por el coeficiente del divisor y el resultado se colocara en el renglón #2 abajo del siguiente termino, se suman los coeficientes de esa columna, el resultado de la suma se multiplica nuevamente por el coeficiente del divisor y el resultado se coloca en la siguiente columna, así sucesivamente hasta obtener el residuo 

x-2 /       -1       2    -1     +1       -3      

  

  -2          ¦         2    -8      18      -38

              -1        4    -9      19      -41  <--- residuo 

cociente 

Para la comprobación multiplicamos el cociente por el divisor original  

(-1x³ + 4x² -9x +19) (x+2)

-x^4 +4x³ -9x² +19x -2x³ +8x² -18x +38 - 41= -x^4+2x³ -x² + x - 3  <-- resultado 

División de polinomios

Dividir el polinomio "3x²+x-1" entre el binomio "x+2"

                                  3x-5

                x+2   |  3x²+x-1                                      para comprobar multiplicamos el divisor por el cociente

                           -3x²-6x                                        mas el residuo :

                             0 -5x-1

                                 5x+10                                    (x+2)(3x-5)+9

                                        9                             3x²-5x+6x-10+9=  3x²+x-1=F(x)

                                                                                  

 podremos observar que  nos dio como resultado  el    dividendo lo cual quiere decir que esta división esta correcta 

Ecuaciones Bicuadraticas

Determinar las raíces de X^4-10x²+9=0

Pasaremos la ecuación al ² usando Y

X^4 ---> y²
-10x² -> y      

  Y nos queda como ecuación y²-10y+9=0 que tenemos que factorizar, nuestros resultados al multiplicarse nos debe dar 9 positivo y al sumarlos 10 negativo

En este caso los valores serian (-9. -1)

y²-10y+9=0

(y-9)(y-1)

y-9=0  y-1=0

Y=9  Y=1

al tener los valores de Y, vamos a retomar la ecuación elevada a la cuarta potencia para obtener nuestra  raices Y nos queda:

x²=9                              x²=1

x=± √9                           x=± √1

x1= 3 x2=-3                   X3=1  X4=-1

Ahora tabulamos para graficar agregando mas valores en x y esos valores sustituirlos en la ecuación X^4-10+9=0 para obtener los valores de Y, nos queda:

Y la gráfica nos queda así :

Obtención de los ceros o raíces de las funciones poligonales

Obtener la gráfica de la ecuación cuadrática 6x²+x-1 = F(x) por medio de las raíces y el vértice 

Para obtener los valores de "X" usaremos la formula general:

 

Sabiendo que a=6 b=1 c=-1 de este modo la formula nos quedara así al sustituir los valores :

      -1 ± √(1)² - 4(6)(-1)

x = ————————        

    2(6)

      

-1 ± √1 + 24)

x = ————————

  12

 -1 ± √25
x = ————————
   12

 -1 ± 5
x = ————————
 12

   x1 =   -1+5     =       4          X1= .33        x2=    -1-5     =   -6      X2= .5                                                                 

              12              12                                 12                12

Ahora que tenemos los valores de "x" tenemos que obtener la vértices la cual la obtenemos con la formula :

Xv =   -b  

         2a

Al sustituir los valores nos queda =

Xv =   -1      =  -1   

        2(6)        12

Nuestro resultado de x  = -0.08, este valor lo vamos a sustituir en la ecuación cuadrática 

 6x²+x-1 = F(x) para obtener el valor Y de la vértice, por lo que nos queda:

Yv= 6(-0.08) + (-0.08)-1

Yv= -1.04                                        Entonces nuestra vértice vale --> V= (-0.08, -1.04)

y la gráfica queda de la siguiente manera